Производные финансовые инструменты обеспечивают участникам рыночных отношений возможность защищать (хеджировать) свои инвестиции от рисков.

Качественно иные результаты по сравнению со стандартными методами может дать решение общей задачи управления портфелем производных финансовых инструментов, не связанной с применением фиксированного набора стратегий.

, – векторы опционных и фьючерсных контрактов, находящихся в портфеле до решения оптимизационной задачи.

– вектор покупки опционных контрактов. Каждая компонента данного вектора представляет собой число опционов определенной серии, рекомендуемых для покупки.

– вектор продажи опционных контрактов. Каждая компонента данного вектора представляет собой число опционов определенной серии, рекомендуемых для продажи.

– вектор покупки фьючерсных контрактов.

– вектор продажи фьючерсных контрактов.

, – векторы, каждая компонента которых есть максимальное число опционов определенной серии, которые могут быть предназначены соответственно к покупке и к продаже.

, – верхние границы числа фьючерсов, предназначаемых соответственно к покупке и к продаже.

– денежные средства, потраченные на покупку опционов;

– денежные средства, вырученные от продажи опционов;

– величина комиссионных издержек при заключении сделок по опционам и фьючерсам.

– текущая суммарная стоимость контрактов, которые находятся в портфеле перед решением оптимизационной задачи.

– стоимость тех же контрактов спустя время .

– суммарная стоимость, которую будут иметь в конце инвестиционного горизонта фьючерсы и опционы, рекомендованные для покупки и продажи в результате решения оптимизационной задачи, где – стоимость базисного актива.

Ограничения на переменные задачи.

(1.1)

(1.2)

(1.3)

. (1.4)

Затраты на изменение состава портфеля.

. (1.5)

. (1.6)

(1.7)

. (1.8)

Доказаны некоторые свойства решений полученной задачи, которые обеспечивают их адекватность естественным требованиям к рекомендациям по управлению портфелем.

Утверждение 1. Предположим, что портфель содержит открытую позицию по некоторой серии опционов. Решение задачи может содержать рекомендацию по открытию противоположной позиции в том, и только том случае, если одновременно сформирована рекомендация по закрытию имеющейся позиции.

Утверждение 2. Решение оптимизационной задачи не может одновременно содержать рекомендации по покупке и продаже одной и той же серии производных инструментов.

Все соотношения, определяющие формальную постановку задачи оптимизации портфеля фьючерсов и опционов, являются линейными по своим переменным. Ограничение на безубыточность портфеля, зависящее от параметра (величина базисного актива), который накрывается доверительным интервалом, приводит к задаче полубесконечной оптимизации, которая может быть сведена к задаче линейного программирования путем дискретизации доверительного интервала.

Рассмотренный подход к решению задачи использовался при проведении моделирования процесса управления портфелем фьючерсов и опционов на индекс RTX Венской биржи фьючерсов и опционов с целью хеджирования портфеля российских акций. Результаты моделирования показывают эффективность разработанной модели оптимизации портфеля производных финансовых инструментов и ее преимущества по сравнению с классическим дельта-гамма хеджированием.

Рис. 1. Результаты моделирования процесса управления портфелем.

1 – Портфель акций, 2 – Портфель акций, фьючерсов и опционов, 3 – Дельта-гамма хеджирование, 4 – RTX.

Заключение производных контрактов сопряжено с риском неисполнения обязательств. Для того, что бы устранить этот риск, в биржевой практике принято производить расчеты по таким контрактам ежедневно, а не только в момент их погашения.

Залог, эквивалентный сумме вариационной маржи и ликвидационной стоимости портфеля, сокращает риск банкротства инвестора, однако расчет по залогу производится только один раз в день после закрытия торгов. Для того чтобы учесть возможные дневные колебания стоимости портфеля, к вариационной марже и ликвидационной стоимости добавляется так называемая начальная маржа. Сумма вариационной маржи, ликвидационной стоимости и начальной маржи определяет необходимую величину залога за портфель фьючерсов и опционов. В настоящее время практически все крупные биржи мира для расчета начальной маржи используют методику SPAN (Standard Portfolio Analysis of Risk).

Выполнение залоговых требований является обязательным условием при заключении биржевых сделок с фьючерсами и опционами. Поэтому в случае биржевой торговли необходимо обобщить предлагаемую модель оптимизации портфеля производных инструментов таким образом, чтобы учесть в ней все виды расчетов между инвестором и брокером.

Переменные задачи не изменяются.

В ограничении на самофинансируемость портфеля учитывается текущий остаток денежных средств, перечисленных инвестором на брокерский счет.

, (2.1)

где A – текущий остаток денежных средств, перечисленных инвестором на брокерский счет.

Дополнительное залоговое ограничение:

, (2.2)

где V – текущая оценка вариационной маржи для фьючерсов, – текущая оценка ликвидационной стоимости опционов, находящихся в портфеле до решения оптимизационной задачи, – оценка ликвидационной стоимости опционов, рекомендованных для покупки и продажи, – величина начальной маржи, ожидаемая после изменения состава портфеля ( и – векторы опционных и фьючерсных контрактов, находящихся в портфеле до решения оптимизационной задачи).

Ограничение на безубыточность портфеля не изменяется, и критерий оптимизации остается прежним.

(2.3)

Исходная задача разбивается на ряд подзадач в соответствии с особенностями расчета начальной маржи по портфелю фьючерсов и опционов на один вид базисного актива. В каждой подзадаче величина залога определяется линейными соотношениями. Решение данной задачи может осуществляться путем полного перебора всех подзадач. В качестве рекомендации на покупку и продажу фьючерсных и опционных контрактов принимается решение подзадачи с наибольшим значением критерия. Такой подход является трудоемким и требует значительных вычислительных затрат. Поэтому предлагается алгоритм решения данной задачи на основе метода ветвей и границ.

Разработан способ ветвления, основанный на использовании в подзадачах первого уровня бюджетных ограничений, включающих все составляющие залога, расчет которых одинаков на всей области определения исходной задачи. Остальные составляющие залога временно полагаются равными нулю. На первом уровне рассматриваются случаи наличия и отсутствия кредитов за спрэд между фьючерсами и опционами. Затем последовательно добавляются ограничения, определяющие величины взносов за спрэд для фьючерсов, опционов и размер оффсетного взноса между фьючерсными и опционными позициями. Проведение вычислительных экспериментов показало, что данный способ ветвления позволяет существенно (72%) сократить количество решаемых подзадач по сравнению с полным перебором.

Результаты моделирования процесса управления портфелем фьючерсов и опционов на индекс FTSE 100 биржи LIFFE показывают эффективность разработанной модели оптимизации портфеля производных финансовых с учетом залоговых ограничений.

Рис. 2. Результаты моделирования процесса управления портфелем.

1 – Портфель фьючерсов и опционов, 2 – FTSE 100

Данная система предназначена для решения задачи оптимизации портфелей фьючерсов и опционов на один вид базисного актива с учетом всех реальных биржевых условий и может быть использована для автоматизации торговли производными инструментами тех бирж, на которых залоговые требования определяются при помощи методики SPAN. Основными функциями РЛС “Хеджер” являются:

• Получение котировок базисного актива и производных инструментов, а также рисковых параметров из внешних источников при помощи средств телекоммуникаций.
• Закрытие предыдущего торгового дня для существующих портфелей.
• Выполнение операций с портфелями по запросу пользователя.
• Формирование и решение задачи поиска оптимальных рекомендаций по изменению структуры выбранного портфеля в соответствии с моделью оптимизации портфеля фьючерсов и опционов на один вид базисного актива с учетом залоговых ограничений.
• Вывод и графическое отображение результатов решения оптимизационной задачи.
• Оправка заявок брокеру.
• Модификация структуры выбранного портфеля по информации о совершенных сделках.

• Создание отчетов.

На рис. 3. представлена структура главного меню расчетно-логической системы “Хеджер”.

Рис. 3. Главное меню РЛС “Хеджер”.

Главное рабочее окно РЛС “Хеджер”, предназначенное для оптимизации портфеля производных финансовых инструментов, изображено на рис. 4.

Рис. 4. Окно оптимизации портфеля производных финансовых инструментов.